Question

f（x，y）=(x2+y2)sin1x2+y20x2+y2≠0x2+y2=0在（0，0）点：（1）是否可微；（2）偏导数是否连续

Answer 1

（1）由定义
f
′
x
(0，0)=
lim
△x→0
f(△x，0)-f(0，0)
△x
=
lim
△x→0
(△x)2sin
1
(△x)2
△x
=0，
f
′
y
(0，0)=
lim
△y→0
f(0，△y)-f(0，0)
△y
=
lim
△y→0
(△y)2sin
1
(△y)2
△x
=0，
∴df=
f
′
x
(0，0)△x+
f
′
y
(0，0)△y=0，
∴dz是△x与△y的线性函数；
设ρ=
△x2+△y2
，则
△f=f(△x，△y)-f(0，0)=(△x2+△y2)sin
1
△x2+△y2
=ρ2sin
1
ρ2
∴
lim
ρ→0
df-△f
ρ
=ρsin
1
ρ2
=0，
∴dz与△z之差比ρ为高阶无穷小；
即f（x，y）在（0，0）可微．
（2）由于?（x，y）：x2+y2≠0，有
f
′
x
(x，y)=2xsin
1
x2+y2
-
2x
x2+y2
cos
1
x2+y2
fy(x，y)=2ysin
1
x2+y2
-
2y
x2+y2
cos
1
x2+y2
而
lim
(x，y)→(0，0)
2x
x2+y2
cos
1
x2+y2
和
lim
(x，y)→(0，0)
2y
x2+y2
cos
1
x2+y2
都不存在，
因此，
lim
(x，y)→(0，0)
fx(x，y)和
lim
(x，y)→(0，0)
fy(x，y)不存在
即一阶偏导数在（0，0）不连续
∴
f
′
x
(x，y)和
f
′
y
(x，y)在（0，0）也间断．
即偏导数不连续．