Question

一道不等式证明题？

(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)>=8abc
a,b,c都是正实数

Answer 1

证明：(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)-8abc=(a^2 * b^2 * c^2) + a^2 * b^2 + b^2 * c^2 +a^2 * c^2 + a^2 + b^2 + c^2 +1 - 8abc=(a^2 * b^2 * c^2 -2abc+1) + (a^2 * b^2 -2abc + c^2) +( b^2 * c^2 -2abc +a^2) + (a^2 * c^2 -2abc + a^2)=(abc-1)^2+(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0,当且仅当a=b=c=1时等号成立。证毕。
其实，没有必要限制a,b,c都是正实数！
如果有那个限制，完全可以根据（a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)＞＝(2a)*(2b)*(2c)=8abc来做的．