Question

已知线性方程组，问 λ取何值时，方程组无解，有唯一解，无穷多解？并在无穷多解时写出方程组通解？

Answer 1

由①得：x3=1-2x1-λx2，.....④
分别代入式②、③得：(λ-2)x1-(λ+1)x2=1，........⑤
14x1+5(λ+1)x2=4，.......⑥
——》x1=9/(5λ+4)，x2=(4λ-22)/(5λ+4)(λ+1)，x3=(λ^2+13λ+3)/(5λ+4)(λ+1)；
⑴、方程组无解：(5λ+4)(λ+1=0，即λ=-1，λ=-4/5；
⑵、方程组有唯一解：(5λ+4)(λ+1)≠0，即λ≠-4/5，λ≠-1；
⑶、方程组有无穷多解：系数矩阵的秩r=3=n，所以不存在有无穷多解的情况。

Answer 2

写出此方程组的增广矩阵，用初等行变换来解
-2
1
1
-2
1
-2
1
λ
1
1
-2
λ^2
第1行加上第2行×2，第3行减去第2行
～
0
-3
3
-2+2λ
1
-2
1
λ
0
3
-3
λ^2-λ
第3行加上第1行，第1行和第2行交换
～
1
-2
1
λ
0
-3
3
-2+2λ
0
0
0
λ^2+λ-2
若方程组有无穷多解，
则r(a)=r(a,b)<3，
所以λ^2+λ-2=0解得λ=
-2或
1
当λ=
-2
增广矩阵化为
1
-2
1
-2
0
-3
3
-6
0
0
0
0
第2行除以-3
～
1
-2
1
-2
0
1
-1
2
0
0
0
0
第1行加上第2行×2
～
1
0
-1
2
0
1
-1
2
0
0
0
0
得到方程组的解为：c(1,1,1)^t
+(2,2,0)^t，c为常数
当λ=1时，
增广矩阵化为
1
-2
1
1
0
-3
3
0
0
0
0
0
第2行除以-3
～
1
-2
1
1
0
1
-1
0
0
0
0
0
第1行加上第2行×2
～
1
0
-1
1
0
1
-1
0
0
0
0
0
得到方程组的解为：c(1,1,1)^t
+(1,0,0)^t，c为常数