Question

一阶线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解公式是什么？

Answer 1

解：先算对应的齐次方程的解。

y'+P(x)y=0

y'/y=-P(x)

lny=-∫P(x)dx+C

y=ke^(-∫P(x)dx)

下面用常数变易法求解原方程的解。

设k为u(x)

y=u(x)e^(-∫P(x)dx)

y'=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)

代入得：

Q(x)

=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)+u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)

u(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C

y=e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C)

通解求法

一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。注意到，上式右端第一项是对应的齐次线性方程式（式2）的通解，第二项是非齐次线性方程式（式1）的一个特解。由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。

Answer 2

解：先算对应的齐次方程的解。
y'+P(x)y=0
y'/y=-P(x)
lny=-∫P(x)dx+C
y=ke^(-∫P(x)dx)
下面用常数变易法求解原方程的解。
设k为u(x)
y=u(x)e^(-∫P(x)dx)
y'=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)
代入得：
Q(x)
=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)+u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)
u(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C
y=e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C)