Question

求幂级数∑(∞ n=1) x^n/n 的收敛域和函数求大神帮助

Answer 1

由比值审敛法易知其收敛域为(-1,1) 

∑(n+1)/n(x^n)

=∑(1+1/n)*x^n

=∑x^n+∑(1/n)*x^n

=x/(1-x)+∑(1/n)*x^n 令f(x)

=∑(1/n)*x^n 

则f′(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x) 

所以f(x)=∫(上x,下0)1/(1-x) dx =-ln(1-x)

 所以 ∑(n+1)/n(x^n)=x/(1-x)-ln(1-x)

扩展资料：

一般的幂级数的收敛域的计算步骤为：

第一步：借助于正项级数的比值审敛法或根值审敛法求收敛区间；

第二步：借助于常值级数收敛性的判定方法判定幂级数在区间端点对应的常值级数的收敛性；

第三步：收敛区间加上收敛的端点构成幂级数的收敛域：收敛区间+收敛的端点=收敛域。

Answer 2

显然由比值审敛法易知其收敛域为(-1,1)
∑(n+1)/n(x^n)=∑(1+1/n)*x^n=∑x^n+∑(1/n)*x^n=x/(1-x)+∑(1/n)*x^n
令f(x)=∑(1/n)*x^n
则f′(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x)
所以f(x)=∫(上x,下0)1/(1-x)
dx
=-ln(1-x)
所以
∑(n+1)/n(x^n)=x/(1-x)-ln(1-x)

Answer 3

搜一下：求幂级数∑(∞
n=1)
x^n/n
的收敛域和函数求大神帮助

Answer 4

简单计算一下即可，答案如图所示