长方体的外接球的表面积公式
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试题
长方体一顶点出发的三个侧面的面对角线的长分别为$\sqrt{3}，\sqrt{5}，2$，则该长方体外接球的表面积是
6π
6π
．
考点：球的体积和表面积．
专题：综合题．
分析：
先求出长方体的棱长，再求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据公式即可球的表面积，本题采用了设而不求的技巧，没有解棱的长度，直接整体代换求出了体对角线的长度．
解答：
解：长方体一顶点出发的三条棱长的长分别为a，b，c，
则a
2
+b
2
=3，b
2
+c
2
=5，c
2
+a
2=4，
得a
2
+b
2
+c
2
=6．
于是，球的直径2r满足4r
2
=（2r）
2
=a
2+b
2
+c
2
=6．
故外接球的表面积为s=4πr
2
=6π．
故应填6π
点评：
本题考查长方体的几何性质，长方体与其外接球的关系，以及球的表面积公式，训练了空间想象能力．
答题
希望有帮助
长方体一顶点出发的三个侧面的面对角线的长分别为$\sqrt{3}，\sqrt{5}，2$，则该长方体外接球的表面积是
6π
6π
．
考点：球的体积和表面积．
专题：综合题．
分析：
先求出长方体的棱长，再求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据公式即可球的表面积，本题采用了设而不求的技巧，没有解棱的长度，直接整体代换求出了体对角线的长度．
解答：
解：长方体一顶点出发的三条棱长的长分别为a，b，c，
则a
2
+b
2
=3，b
2
+c
2
=5，c
2
+a
2=4，
得a
2
+b
2
+c
2
=6．
于是，球的直径2r满足4r
2
=（2r）
2
=a
2+b
2
+c
2
=6．
故外接球的表面积为s=4πr
2
=6π．
故应填6π
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本题考查长方体的几何性质，长方体与其外接球的关系，以及球的表面积公式，训练了空间想象能力．
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