Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx.若f'(x)在区间[-1,1]上的值小于等于2恒成立，求b/(a-1)的取值范围

Answer 1

令f(x)=xt，t=x^2
+ax
+b
，y=a-1
f(1)=1+a+b=<2,得b=<-(a-1)=-y；f(-1)=-1+a-b=<2,得y-2=（a-1）-2=<b
即，y-2=<b=<-y
若0=<y=<1,-2=<b=<0,1=<a=<2,此时,令b=-1,则-1=1-1-1=<t=<1+2-1=2,丨f(x)丨<丨tx丨<丨t丨<2,b/y=b/a-1=<0
(取b某一合适的数值为一技巧，此时可以看出b/a-1定小于零，但b=-1时小于等于零的数都求出了其他值就不必考虑了)
若-1=<y<0,-3=<b<1,0=<a=<1，此时，令b=-1，则-1=<t<1，丨f(x)丨<丨tx丨<丨t丨<1<2,b/y=b/a-1>0（同上思维）
综合上述，b/y取值范围为所有实数。
（本题本来该讨论y<-1,b=实数，a<0和y>1,b无解这两种情况，但实数解已经出来了就不用多讨论了。
这个题目需注意三个方法，
第一，从b/（a-1）特别要注意a-1在[-1,1]是否都成立，或者有时候这里可以是[-a,a]而a只要小于1就好，这样的分母必会得到所有实数解，
而1则是分水岭，这里从题目自己意会了。
第二，f(x)在[-1,1]恒成立，就应该先考虑-1,1,0三个值。
第三，f(x),可以变换成f(x)/x,也可以变换成（x^2
+ax
+b）x，因为t=x^2+ax+b是一条抛物线，我想能做这类题目的人应该对抛物线的取值分析很熟套了吧，当然有时候第一眼奇偶，单调性分析，呵呵）

Answer 2

f'(x)=3x^2+2ax+b=3(x+a/3)^2+(b-a^2/9),令y=b/(a-1)
1``,当-a/3<0时，a-1>-1时，
f'(x)max=f'(1)=3+2a+b=<2，

若0>a-1>-1,y>=-3/(a-1)-2>3-2=1,

若a-1>0,y=<-3/2(a-1)-2<0-2=-2
2``,当-a/3>=0时，a-1=<-1时，a<0

f'(x)max=f'(-1)=3-2a+b=<2,

y>=1/2(a-1)+2=2
综合上述，y=b/(a-1)的取值范围为（-无穷，-2）并（1,正无穷）