Question

3道高一数学题...高手帮帮忙...

3道高一数学题...高手帮帮忙... 1 已知函数f（x）对于任意x,y∈R,满足f(x)+f(y)=f(x+y)+2 当x＞0时，f(x)＞2. （1）求证:f(x)在R上是增函数 （2）当f(3)=5时，解不等式f(a²-2a-2)＜3 2. 一直函数g(x)=ax²+8x+b/x... 3道高一数学题...高手帮帮忙... 1 已知函数f（x）对于任意x,y∈R,满足f(x)+f(y)=f(x+y)+2 当x＞0时，f(x)＞2. （1）求证:f(x)在R上是增函数 （2）当f(3)=5时，解不等式f(a²-2a-2)＜3 2. 一直函数g(x)=ax²+8x+b/x²+1 的值域是｛y|1≤y≤9｝，试求函数f(x)=√ ax²+8x+b 的定义域和值域 3.已知二次函数f(x)=ax²+bx+a满足条件f(7/4+x)=f(7/4-x)，且方程f(x)=7x+a有两个相等的实数根， (1)求f(x)的解析式 (2)是否存在实数m,n(0＜m＜n)，使得f(x)的定义域为[m,n]，值域[3/n,3/m]?若存在，求出m,n的值；若不存在，请说明理由。 展开

Answer 1

只做第一、三题。第二题题目是否写错了，解答步骤是用导数法确定出a与b的值，再代入f(x)=√
ax²+8x+b
中，再用导数法求出值域。
第一题：1）令x=y=0
则f(0)=2,由观察法可以知道此函数为一次函数f（x）=x+2,所以f'(x)>0
所以是增函数。
2）f(a²-2a-2)=a²-2a<3
解得
-1<a<3
第三题：
1）因为函数f(x)=ax²+bx+a满足条件f(7/4+x)=f(7/4-x)，所以函数关于7/4对称，(本处引用一个定理，若f(x)满足f(a+mx)=f(b-mx)时，则f(x)关于x=(a+b)/2对称)且方程f(x)=7x+a有两个相等的实数根，所以⊿=0
推出b=7
，然后由对称轴x=-7/2a=7/4
推出a=-2
所以函数解析式为f(x）=-2x²+7x-2
2)问是否存在m,n
，那么只需要找出一个m、n就能证明问题了。假设0<
m
<7/4<n(为什么要这样？这个意思就是说函数的对称轴在m、n之间，那么就可以知道f(x)的最大值就是3/m,而在这个区间中函数的最大值为33/8)于是
3/m=33/8，解出m=8/11,再由f(m)=3/n,或者f(n)=3/n，确定出n，这里由f(m)=3/n
解出（其中m=8/11）n=3
因为
n刚好满足
0<
m
<7/4<n
（8/11<7/4<3）
至此存在这样的m、n
满足题设要求，它们是m=8/11
,n=3