Question

若实数x,y满足x^2+y^2-2x+4y=0求y+3/x-4的最大值于最小值

Answer 1

方法1、
x²-2x+1+y²+4y+4=5
(x-1)²+(y+2)²=5
可知圆心在(1,
-2)
定点是(4,-3)，在圆心右下方
所以可以作出两条圆的切线，求出切线的斜率k的取值范围
设圆上的切点坐标为(a,
b)
那么有
[(b+3)/(a-4)]*[(b+2)/(a-1)]=-1
整理得：a²-5a+b²+5b+10=0
又因为
(a,
b)在圆上
所以
a²-2a+b²+4b=0
两式相减：3a-b-10=0，即b=3a-10
代入圆方程：a²+(3a-10)²-2a+4*(3a-10)=0
10a²-50a+60=0
a²-5a+6=0
a=2
或者
a=3
所以切点(2,
-4)和(3,
-1)
所以斜率最大值：(-3+4)/(4-2)=1/2，斜率最小值：(-1+3)/(3-4)=-2
方法2、
设(y+3)/(x-4)=T
那么y=Tx-4T-3
代入方程
x²+(Tx-4T-3)²-2x+4(Tx-4T-3)=0
x²+T²x²-2T(4T+3)x+(4T+3)²-2x+4Tx-16T-12=0
(T²+1)x²-(8T²+2T+2)x+16T²+8T-3=0
关于x的方程有实数解
△≥0
整理得2T²+3t-2≤0
所以
T∈[-2,
1/2]