Question

一道定积分计算题 在线等 辛苦各位了

lim t乘以f(t)dt / x乘以f(t)dt x趋向于0 积分区域是 0到x

Answer 1

当x→0时，分母分子都趋于0
用洛比达法则求解
注意此时分子是变上限积分，它的导数为
[∫【0，x】tf(t)dt]'=xf(x)
分母是含参变量积分，它的导数为
[∫【0,x】xf(t)dt]'=∫【0,x】f(t)dt
+
xf(x)
当x→0时，如果f(x)可导，则此时分子分母的导数也都趋于0，再利用洛比达法则可得
[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)
[∫【0,x】f(t)dt
+
xf(x)]'=2f(x)+xf'(x)
于是原式=lim
【x→0】xf(x)/{∫【0,x】f(t)dt
+
xf(x)}
=lim
【x→0】[f(x)+xf'(x)]/[2f(x)+xf'(x)]
=1/2
前提f(x)导函数存在且连续时，结果为1/2
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答!