Question

等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn，若数列{Sn+1}也是等比数列，求前n项和

等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn，若数列{Sn+1}也是等比数列，求前n项和Sn

Answer 1

S[n]=2(1-3ⁿ)/(1-3)=3ⁿ-1。

设等比数列{a[n]}的公比为q，则S[n]=a[1](1-qⁿ)/(1-q)=2(1-qⁿ)/(1-q)。则S[n]+1=2(1-qⁿ)/(1-q)+1。代入1、2、3，分别为：

S[1]+1=2(1-q)/(1-q)+1=2+1=3。

S[2]+1=2(1-q²)/(1-q)+1=2(1+q)+1=3+2q。

S[3]+1=2(1-q³)/(1-q)+1=2(1+q+q²)+1=3+2q+2q²。

又因为数列{S[n]+1}是等比数列，则S[1]S[3]=(S[2])²。

即3(3+2q+2q²)=(3+2q)²，即9+6q+6q²=9+12q+4q²，即q(q-3)=0，则q=0或者q=3。因为q≠0，所以q=3，则S[n]=2(1-3ⁿ)/(1-3)=3ⁿ-1。

性质：

1、若m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq。

2、在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

3、若“G是a、b的等比中项”则“G2=ab（G≠0）”。

4、若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an×bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

Answer 2

解：设等比数列{a[n]}的公比为q

则S[n]=a[1](1-qⁿ)/(1-q)=2(1-qⁿ)/(1-q)

则S[n]+1=2(1-qⁿ)/(1-q)+1

S[1]+1=2(1-q)/(1-q)+1=2+1=3

S[2]+1=2(1-q²)/(1-q)+1=2(1+q)+1=3+2q

S[3]+1=2(1-q³)/(1-q)+1=2(1+q+q²)+1=3+2q+2q²

∵数列{S[n]+1}是等比数列，则S[1]S[3]=(S[2])²

即3(3+2q+2q²)=(3+2q)²，即9+6q+6q²=9+12q+4q²，即q(q-3)=0

则q=0或者q=3

∵q≠0

∴q=3，则S[n]=2(1-3ⁿ)/(1-3)=3ⁿ-1

Answer 3

解:设等比数列{a[n]}的公比为q
则S[n]=a[1](1-qⁿ)/(1-q)=2(1-qⁿ)/(1-q)
则S[n]+1=2(1-qⁿ)/(1-q)+1
S[1]+1=2(1-q)/(1-q)+1=2+1=3
S[2]+1=2(1-q²)/(1-q)+1=2(1+q)+1=3+2q
S[3]+1=2(1-q³)/(1-q)+1=2(1+q+q²)+1=3+2q+2q²
∵数列{S[n]+1}是等比数列，则S[1]S[3]=(S[2])²
即3(3+2q+2q²)=(3+2q)²，即9+6q+6q²=9+12q+4q²，即q(q-3)=0
则q=0或者q=3
∵q≠0
∴q=3，则S[n]=2(1-3ⁿ)/(1-3)=3ⁿ-1