Question

函数的概念简单理解

Answer 1

函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。
首先要理解，函数是发生在集合之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止且不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。
函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示 。
概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围

Answer 2

函数这一概念相信大家理解起来都有难度。学过这段有的同学郁闷，有的同学懊恼，有的同学迷茫，有的同学摸不着头脑。究其原因并不是大家的理解能力欠缺更不是态度不端正不认真，而是函数这一概念之精深，形成之曲折远非大家所能想象。函数概念达到今天这种高度概括的程度是经过几代数学人数百年艰苦努力才得来的。

　　那么我们不妨看看函数概念形成之初是什么样子，新东方在线老师带领大家一起观察一下函数的少年时代，或许能让同学们更容易的理解函数。

　　看这样一个例子。在远古的马达加斯加岛，操练士兵的将领要数清自己率领的战士的数量，由于条件所限无法一一清点，他们就命令士兵在收操回营的时候每人向检阅台旁的盾牌中投入一颗石子。待战士全部撤离，将领就命令参谋清点石子的数量。这样通过数石子，将领就能了解手下究竟率领着多少士兵。

　　这就是函数最初的形象，士兵就是原象，石子是他们在计数人数这一对应法则下的象。虽然那时还没有抽象的数、集合的概念，但利用函数对应法则的便利人们已经能够解决实际问题了.

　　试想一场大战在即，将领要让部队中一半的士兵每两人配备一套弓箭，另一半士兵每人持有一柄长矛。将领向士兵分发兵器时以收操时的石子作为原象，对应的兵器作为象，能够精准高效的完成武器的分配。函数“对应”的形象又更加的凸显了。

　　这个阶段函数与实际生活结合紧密，人们不自觉的使用到函数的“对应”性质，虽然没有数、值概念的加入，但事物之间的对应性已经为人们所熟知，数量的观念也已经深入人心。

　　今天我们在已知函数概念的前提下，应该能够把他们还原到原始状态。不仅局限于数、值、点、图形这些抽象数学对象的对应，不仅狭窄的将运算作为对应法则。应该有能力把一切相关联事物作为象集、原象集，借助客观实物去理解函数。比如每个人的qq号码作为原象，持有账户的关系作为对应法则，那么象集“人”就与原象集“qq”号码建立起了函数关系。此类关系在生活中不胜枚举，希望大家展开联想，积极思考，这样函数这一概念会在你的脑海里越发的深刻。

　　另一个有趣的例子是这样的，将十朵花分别插入十个水瓶中，对一个3岁大的小女孩提问，花和瓶子哪个多？小女孩能回答出来一样多；再将所有的花拿出来扎成一捆，问同样的问题，小女孩就会说瓶子多。小女孩是纯真的她所说的话正体现了人们对函数一一对应这一性质的最初认识。如果象在对应法则下都有唯一的原象并且原象集中的元素一个不剩的都对着象集中的元素。不就是花与瓶的关系吗？我们对无穷多数集比较的问题不就解决了吗？现在问你被2整除的数与被3整除的数哪个更多你一定不会象小女孩那样说被3整除的数因为大所以多，他们可以建立一一对应关系，让被2整除的数乘以2分之3就能与被3整除的数形成一一对应。

　　函数一一对应关系能解决直观引起的误区，并且具有反对应、可逆转的功效。生活中人人都在用的身份证就是这个思想的产物。每个人都必须且只能有唯一一个身份证号，身份证号就和人建立起了一一对应，只要出示身份证就能表明你的身份。

Answer 3

三个方面
一两个非空数集A和B,例如y=√(x-3)+√(2-x),它的定义域就是空集
二唯一确定性，对于A中的任意一个元素，按照某种对应法则，在集合B中都有唯一确定的元素与之相对应，
三是函数，首先必须是一个映射