Question

高数题目求解，

Answer 1

没学过的题，设着做一下吧，做得不好，不要笑话我，做好了，给唱个彩。
为了描述方便，记u=e^(-2x), 则u'=-2u, u"=4u.
设y=uv，则y'=u'v+v'u=(v'-2v)u.
y"=(v"-2v')u+(v'-2v)u'=(v"-2v'-2v'+4v)u=(v"-4v'+4v)u.
y"+3y'+2y=(v"-4v'+4v)u+3(v'-2v)u+2uv=(v"-4v'+4v+3v'-6v+2v)u=(v"-v')u=xu, 即有
v"-v'=(v'-v)'=x, 所以v'-v=x^2/2+C'.
又设v=ax^2+bx+c, 则v'=2ax+b,
由v'-v=2ax+b-ax^2-bx-c=-ax^2+(2a-b)x+(b-c)=x^2/2+C'. 得
a=-1/2, 2a-b=0，所以b=-1, c随意
所以v=-x^2/2-x+C.
因此y=(-x^2/2-x+C)e^(-2x)，检验一下呗
y'=-2(-x^2/2-x+C)e^(-2x)+(-x-1)e^(-2x)=(x^2+2x-2C-x-1)e^(-2x)=(x^2+x-2C-1)e^(-2x).
y"=-2(x^2+x-2C-1)e^(-2x)+(2x+1)e^(-2x)=(-2x^2-2x+4C+2+2x+1)e^(-2x)=(-2x^2+4C+3)e^(-2x).
因此y"+3y'+2y=(-2x^2+4C+3)e^(-2x)+3(x^2+x-2C-1)e^(-2x)+2(-x^2/2-x+C)e^(-2x)=(-2x^2+4C+3+3x^2+3x-6C-3-x^2-2x+2C)e^(-2x)=xe^(-2x).
经检验，答案正确！瞧，一个从来没学过微分方程的人，都能解出来的题，你正在学的人，有什么道理不用心去把它解出来呢？如果你觉得我这么说得罪了你，那对不起咯，对不起咯，对不起咯，重要的事情说三遍，不要生气，免得书没学好，身体又气坏了。

Answer 2

这就是课本上的例题改了几个数字而已

Answer 3

y''+3y'+2y= xe^(-2x)
The aux. equation
p^2+3p+2 =0
p=-1 or -2
let
yg= Ae^(-x) +Be^(-2x)
yp = (Cx^2 + Dx) e^(-2x)
yp' =[ -2(Cx^2 + Dx) + 2Cx +D] e^(-2x) = [-2Cx^2 +(2C-2D)x +D].e^(-2x)
yp''
={ -2[-2Cx^2 +(2C-2D)x +D] -4Cx +2C-2D }.e^(-2x)
=[ 4Cx^2 +(-8C+4D)x + 2C-D] .e^(-2x)
yp''+3yp'+2yp= xe^(-2x)
[ 4Cx^2 +(-8C+4D)x + 2C-D] .e^(-2x) +3 [-2Cx^2 +(2C-2D)x +D].e^(-2x)
+2(Cx^2 + Dx) e^(-2x) = xe^(-2x)
{ [(-8C+4D) + ( 6C-6D) +2D]x + (2C-D)+3D } e^(-2x) = xe^(-2x)
( 2Cx + 2C+2D) .e^(-2x) =xe^(-2x)
2C=1 and 2C+2D =0
C=1/2 and D =-1/2
yp=(1/2)(x^2 - x) e^(-2x)
通解
y=yg+yp= Ae^(-x) +Be^(-2x) +(1/2)(x^2 - x) e^(-2x)

Answer 4

特征方程 r^2+3r+2 = 0, r = -1, -2
故设特解 y = x(ax+b)e^(-2x) = (ax^2+bx)e^(-2x)
y' = [-2ax^2+(2a-2b)x+b]e^(-2x)
y'' = [4ax^2+(-8a+4b)x+2a-4b]e^(-2x)
代入微分方程得 a = -1/2， b = -1， 特解 y = -x(x/2+1)e^(-2x),
通解 y = C1e^(-x)+C2e^(-2x)-x(x/2+1)e^(-2x)