Question

已知函数f(x)=loga为底(1-mx)/(x-1)(a＞0，a≠1，m≠1)是奇函数

1求实数m的值2判断函数f(x)在(1，﹢∞)上的单调性，并给出证明3当x∈(n，a-2)时，函数f(x)的值域是(1，+∞)，求实数a与n的值

Answer 1

f(x)是奇函数
则有f(-x)=-f(x)
即
loga[(1+mx)/(-x-1)]
=
-loga[(1-mx)/x-1]
=
loga[(x-1)/(1-mx)]
则
(1+mx)/(-x-1)=(x-1)/(1-mx)
化简得
(1-m^2)x^2=0
因x≠0
则
m=1
,或
m=-1，代入原式验证，显然m=1不合题意是奇函数。
所以
m=-1
判断f(x)在(1,+∞)上的单调性
易求得f(x)的定义域为
(-∞,-1)U(1,+∞)
因
f(x)
=
loga(x+1)/(x-1)
=
loga
[1
+2/(x-1)]
易知
g(x)=
1
+2/(x-1)为(1,+∞)上的减函数。
下面分类讨论:
若0<a<1时
f(x)为增函数。
若a>1时
f(x)为减函数。
第三题:
对于函数f(x)
=
loga(x+1)/(x-1)
若0<a<1
时
函数f(x)的值域是(1，+∞)
则
0<(x+1)/(x-1)<a
解得
-2/(1-a)<x<-1
因定义域为x∈(n,a-2)
则
-2/(1-a)=n
-1
=a-2
无解。
若a>1
时
函数f(x)的值域是(1，+∞)
则应该有
a<(x+1)/(x-1)
即
[(a-1)x-(a+1)]/(x-1)<0
解得
1<x<(a+1)/(a-1)
因定义域为x∈(n,a-2)
则有
n=1
a-2
=
(a+1)/(a-1)
解得
a=
2+√3或
a=
2-√3(舍去)
所以
n=1,
a=
2+√3
祝您愉快.