Question

求不定积分啊啊啊啊啊,急急急急,谢谢~~~ lnx/√(1-x^2)

Answer 1

这个用常规办法是做不出来的,只能先分部积分,然后再用泰勒公式.
∫ lnx/√(1－x²) dx
＝∫ lnx d(arcsinx)
＝lnx·arcsinx－∫arcsinx d(lnx)
＝lnx·arcsinx－∫arcsinx·(1/x) dx
＝lnx·arcsinx－∫(arcsinx / x )dx
第二项 (arcsinx / x ) 的原函数是无法用初等函数表示的,只能考虑用泰勒公式展开.
先展开arcsinx ,由于没有现成的公式,故先求其导数的泰勒公式,再积分,
(arcsinx) ' ＝1/√(1－x²) ,把这个用泰勒公式展开,这个不难,有模板 (1＋x)的 α 次方,这里相当于α＝－1/2 ,在 (1＋x)的 α 次方的泰勒展开式中,令α＝－1/2,并用 －x² 替换x,
即可得到1/√(1－x²) 的泰勒展开式；两端积分,就得到了arcsinx 的泰勒展开式；然后,两端同除以 x ,就得到了 arcsinx / x 的泰勒展开式,然后对它积分,就得到了上面第二项的原函数,它是一个无穷级数形式的函数,再把第一项添上,就是最终结果.
如果你一开始就想用泰勒公式,是非常麻烦的,必须先分部一次.