Question

求函数单调性定义法

Answer 1

：通常单调性这个考点是出现在大题中，我们常用求导来解决单调性的问题。回想高一，那我们学习单调性就只是为了了解什么叫单调递增，单调递减吗？其实它想告诉我们的是如何用定义解题，这是个复杂的过程，因为这包含了思维的广度和一定的计算量。

单调性定义：设区间 D 上任意两个值 x_1,x_2 ，有 x1<x_2 ；若 f(x_1)<f(x_2) ，函数为D上的增函数；若 f(x_1)>f(x_2),函数则是 D 上的减函数.
一句话描述定义法步骤：①取值：设 x_1,x_2 为所给区间 D 上的任意两个值，且 x_1<x_2;②作差；③变形（思维量）；④定号；⑤结论.
导数法只是工具： ① 求 导 数 f ′( x) ； ② 判 断 f ′( x) 在 区 间 I 上 的 符 号 ； ③ 结 论 ：f ′(x) >0 ⇔ f (x) 在 I 上增函数， f ′(x)<0⇔ f (x)在 I 上减函数.
小技巧：尝试将函数分解为f(x)+g(x)型
1.增函数 f (x) + 增函数 g(x) 是增函数.

2.减函数 f (x) + 减函数 g(x) 是减函数.

3.增函数 f (x) - 减函数 g(x) 是增函数. 4.减函数 f (x) - 增函数 g(x) 是减函数

复合函数 f [(gx)] 的单调性
（1）若 f(x) 与 g(x) 的单调性相同，则 f [g(x)] 为增函数

（2）若 f(x) 与 g(x) 的单调性相反，则 f [g(x)] 为减函数.

单调性的性质
（1）奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.

（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性

题：用定义法完成下列函数的单调性证明

1. f(x)=x+\frac{1}{x} 2. f(x)=\frac{ax}{x^2-1} (x\in(-1,1))

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示