Question

第十题二重积分，划线部分是咋来的，希望能详细一点，谢谢了！

这个划线部分怎么来的，作图出来是这个三角形但是从x型变成积分y型，可以看懂，但是紫色划线那里y型怎么又变回x型了，而且关于y＝x也不对称啊，x跟y好像没法互换这是咋来的。

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Answer 1

分析，考查多重积分的值与积分表示及次序无关性！
解：
本题解答比较绕，但是也不能说有问题，主要是你对多重积分的积分表示和次序不理解！这里从头给你找个比较好理解的方法！
所求积分=∫∫(D1) f(x)f(y)dxdy，其中：D1:y=x,y=1和y轴围成的区域
上式中，显然函数：F(x,y)=f(x)f(y)，是关于x和y轮换对称的，即：
F(x,y)=f(x)f(y)=F(y,x)=f(y)f(x)
根据轮换对称性的性质，显然，D1关于y=x的另一半对称区域上的积分和所求积分是相等的
而D1关于y=x的对称区域D2为：y=x,x轴和x=1所围成的区域
D1+D2=D上的积分就是所求积分的2倍，而D的区域：x轴，y轴，x=1和y=1所围成的区域，于是：
所求积分=(1/2)·∫(0,1)f(x)dx∫(0,1)f(y)dy=(1/2)·A²

Answer 2