Question

在椭圆轨道上的人造卫星在某时刻速率可能等于10

若两卫星相撞前速度大小相等,则运动周期一定相等”如何推出?
比如一圆轨道上的卫星和一椭圆轨道上的卫星相撞,若相撞时速度大小相等,能否证明圆轨道的半径一定等于椭圆轨道的半长轴?或者说机械能相等的两个卫星相撞时周期是否相等?最好能用高中知识给以证明.

Answer 1

假设一个椭圆轨道卫星A（轨道参数a,c,近地点速度v1,远地点速度v2）,则有：
A在近地点机械能等于A远地点机械能：E1=1/2m×v1²-GMm/(a-c)=1/2m×v2²-G(Mm)/(a+c)
A在远、近地点角动量守恒或利用开普勒第二定律：v1(a-c)=v2(a+c)
解得：E1=-GmM/(2a)
设圆轨道卫星B（轨道半径r,速度v）,则有：
B的速度与轨道半径r关系：v²/r=GM/(r²)
B的机械能：E2=1/2mv²-G(Mm)/r
解得：E2=-GmM/(2r)
不妨假设两卫星质量相等（轨道一定,质量不影响周期）.由于A与B在轨道交点（同势能）速度大小相等（同动能）,所以两者机械能相等,从而有：
-GmM/(2a)=-GmM/(2r)
得：a=r