选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|x-2a|.(I)当a=...

选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|x-2a|.(I)当a=1时,求f(x)≤3的解集;(II)当x∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立,求实数a的取值... 选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-1|+|x-2a|. (I)当a=1时,求f(x)≤3的解集; (II)当x∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立,求实数a的取值范围. 展开
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查欣干友安
2020-02-27 · TA获得超过3746个赞
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解:(I)当a=1时,f(x)=|2x-1|+|x-2|=3x-3,当x≥2时x+1,当12<x<2时-3x+3,当x≤12时,
①当x>2时,f(x)>3;
②当12≤x≤2时,32≤f(x)≤3;
③当x<12时,f(x)=-3x+3,由-3x+3≤3,解得x≥0,∴0≤x<12.
综上可知:0≤x≤2.
故f(x)≤3的解集为{x|0≤x≤2};
(II)∵x∈[1,2],∴|2x-1|=2x-1,
由f(x)≤3,可得2x-1+|x-2a|≤3,即|x-2a|≤4-2x,
∵x∈[1,2],∴4-2x≥0.
∴当x∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立⇔|x-2a|≤4-2x恒成立,x∈[1,2].
⇔2x-4≤2a-x≤4-2x恒成立,x∈[1,2],
⇔32x-2≤a≤2-12x恒成立,x∈[1,2].
解得a=1.
故实数a的取值范围是a=1.
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