Question

幂级数求导后收敛半径是否改变?

最好说下原因,谢谢

Answer 1

设幂级数：∑(n=0,+∞) anx^n
有：lim |a(n+1)/an| = ρ ≠0
则：∑(n=0,+∞) anx^n 收敛半径为：R=1/ρ

幂级数求导后：∑(n=1,+∞) nanx^(n-1)

有：lim |(n+1)a(n+1)/nan| =lim [(n+1)/n][a(n+1)/an| = ρ ≠0

则幂级数求导后收敛半径仍为：R=1/ρ
即求导并不改变 幂级数 收敛半径，但是要注意的是【收敛域端点】可能从收敛经【逐项求导】而发散；收敛域缩小；
同理 逐项求积 不改变 幂级数 收敛半径，但是【端点】可能从发散 经【逐项求积】而收敛；收敛域扩大；

Answer 2

不会改变，这是定理。