Question

函数 在区间 上的最大值是3，则实数a=____.

Answer 1

【分析】 因二次项的系数是参数，故分三种情况求解；a=0时，函数y=-x-3是一次函数且为减函数，求出最大值与题意不符故舍去，当a>0和a<0时函数是二次函数，求出对称轴再根据对称轴与定区间的位置关系进行二次分类，再由二次函数的开口方向和对称轴与定区间的位置关系求出最大值，注意验证范围． 如a=0时，函数y=-x-3在区间[ ，2]上的最大值为 ，不符合题意，故舍去； \n若a>0，则函数图象对称轴是 ， \n当-1+ ≤ 时，即a≥ ，函数的最大值是f(2)=a•2 2 +(2a-1)•2-3=3，解得a=1； \n当 <-1+ <2时，即 <a< ，函数的最大值是f( )= ， \n解得a=-6，故舍去． \n当-1+ ≥2时，即0<a≤ ，函数的最大值是f( )= ， \n解得a=-6，故舍去． \n若a<0，-1+ <0，当-1+ ≥ 时，即a≤-1， \n函数的最大值是f(-1+ )=a(-1+ )(-1+ )+(2a-1)(-1+ )-3=3， \n解得4a 2 +20a+1=0，即a= + 或a= - ，故a= - ； \n当-1+ < 时，即-1<a<0， \n函数的最大值是f( )= ，解得a=-6，故舍去． \n综上，a的值为：1或 - ． 【点评】 本题考查了含有参数的二次函数在定区间上的最值问题，分类的标准是：二次项的系数与零关系，根据对称轴与定区间的位置关系；再结合二次函数的图象求出对应的最值，注意范围的验证．