Question

高中数学求解

第十题，也就是最后一个选择题，谢谢

Answer 1

f(x)=(x²+2x）（x²+ax+b），
f(x-3)是偶函数，求f(x)的最小值。
f(x-3)是偶函数，则，f（x-3）=f（-x-3）
[（x-3）²+2（x-3）][（x-3）²+a（x-3）+b]=[（-x-3）²+2（-x-3）][（-x-3）²+a（-x-3）+b]
[（x-3）²+2（x-3）][（x-3）²+a（x-3）+b]=[（-x-3）²+2（-x-3）][（-x-3）²+a（-x-3）+b]
（x²-4x+3）[x²+（a-6）x+（9-3a+b）]=(x²+4x+3）[x²+（6-a）x+（9-3a+b）]
x^4+(a-10)x³+（9-3a+b-4a+24+3）x²+（3a-18-36+12a-4b）x+（27-9a+3b）
=x^4+(6-a+4)x³+（9-3a+b+3+24-4a）x²+（36-12a+4b+18-3a）x+（27-9a+3b）
(a-10)x³+（36-7a+b）x²+（15a-54-4b）x
=(10-a)x³+（36-7a+b）x²+（54-15a+4b）x
(a-10)x³+（15a-54-4b）x
=(10-a)x³+（54-15a+4b）x
a-10=10-a，2a=20，a=10
15a-54-4b=54-15a+4b
150-54-4b=54-150+4b
300-108=8b
b=24
所以a=10，b=24
f(x)=(x²+2x）（x²+10x+24），
=x^4+12x³+44x²+48x
f'(x)=4x³+36x²+88x+48
=4（x³+9x²+22x+12）
f''(x)=4(3x²+18x+22）
f''(x)=0，有两个根：
x1、2=（-18±√60）/6
=（-9±√15）/6
x>（-9+√15）/6,及x<（-9-√15）/6区间，各有一个极小值。图形W形。
f'(x)=0,x3=-5.236067977,x4=-3,x5=-0.763932022,
极小f(x3)=16
极大f（x4）=9
极小f（x5）=-16，

因此，最小值是-16.
这个解法用了计算器的数值解法功能。另外，可以根据函数图象的平移来做，f(x)图像向左移3个单位，对于新坐标x就是老坐标x-3，因此原函数关于x=-3对称。
由于对称轴处，如果函数有定义，必然导数为0，f'(-3)=0,f(x)有x+3因式，可以有分解因式法求解：
f'(x)=4（x³+9x²+22x+12）
=4（x³+3x²+6x²+18x+4x+12）
=4（x+3）（x²+6x+4）
x²+6x+4=x²+6x+9-5=（x+3）²-5=0，x=-3±√5，
f(x)=(x²+2x）（x²+10x+24）
x²+6x+4=0，x²=-6x-4,代入降幂求极小值：
f（x）=（-4x-4）（4x+20）
=-16（x+1)(x+5)
=-16(x²+6x+5）
=-16×1
=-16
就不要用数值法了。

追答

求a，b有简单办法，利用对称性，特殊点的函数值。

也可以不用导数求最小值，配方为()²-16形式，直接得到。

Answer 2

高中数学必修一之一元三次函数求解-穿针引线法