Question

给定实数a，b，c．已知复数z1、z2、z3满足|z1|=|z2|=|z3 ...

给定实数a，b，c．已知复数z1、z2、z3满足|z1|=|z2|=|z3 (1)z1z2+z2z3+z3z1=1 (2)求|az1+bz2+cz3|的值．

Answer 1

解：法一由|z1|=|z2|=|z3|=1，可设z1z2=cosθ+isinθ，z2z3=cosφ+isinφ，
则z3z1=1z2z3•z1z2=cos（θ+φ）-isin（θ+φ）．因z1z2+z2z3+z3z1=1，其虚部为0，
故0=sinθ+sinφ-sin（θ+φ）=2sinθ+φ2cosθ-φ2-2sinθ+φ2cosθ+φ2
=2sinθ+φ2（cosθ-φ2-cosθ+φ2）=4sinθ+φ2sinθ2sinφ2．
故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ，k∈Z．因而z1=z2或z2=z3或z3=z1．
若z1=z2，代入（2）得z3z1=±i，此时
|az1+bz2+cz3|=|z1|·|a+b±ci|=(a+b)2+c2．
类似地，如果z2=z3，则|az1+bz2+cz3|=(b+c)2+a2；
如果z3=z1，则|az1+bz2+cz3|=(a+c)2+b2．
解法二由（2）知z1z2+z2z3+z3z1∈R，
故z1z2+z2z3+z3z1=.z1z2+z2z3+ z3z1，
即z1z2+z2z3+z3z1=.z1.z2+.z2.z3+.z3.z1．
由（1）得zk=1zk（k=1，2，3），代入上式，
得z1z2+z2z3+z3z1=z2z1+z3z2+z1z3，
即z12z3+z22z1+z32z2=z22z3+z32z1+z12z2，
分解因式，得（z1-z2）（z2-z3）（z3-z1）=0，
于是z1=z2或z2=z3或z3=z1．下同解法一．