Question

一阶电路的零状态响应

Answer 1

一个动态电路的响应是各种能量来源共同作用的结果，能源来自于两方面：外施激励（独立源）与动态储能元件（C、L）。

零输入响应：换路后外加激励为0，仅由动态元件的初始储能引起的电路响应称为一阶电路的零输入响应。

一、RC一阶零输入响应分析

结论:

1、电容电压与电流是随时间按同一指数规律性衰减的函数。

2、响应与初始值成正比，衰减快慢与RC乘积有关。

3、电容不断释放能量，被除数电阻吸收，直到消耗完毕。

二、RL一阶零输入响应分析

电容与电感是对偶元件，分析过程完全相同。

三、求解零输入响应问题的步骤小结

1、通过换路前的稳态电路求出电容电压或电感电流，由换路定则求出换路后的电容电压与电感电流的初始值。

2、在换路后电路中去掉动态元件，求剩余电路的等效电阻，从而求出电路的时间常数。

3、由零输入响应公式写出电容电压或电感电流表达式。

4、根据题目要求求解其它未知量。

Answer 2

当动态电路中所有储能元件都没有原始储能 ( 电容元件的电压为 0 ，电感元件的电流为 0) 时，换路后仅由输入激励（独立源）产生的响应称为零状态响
应。
RC电路的零状态响应
所谓RC 电路的零状态，是指换路前电容元件未储有能量，在此条件下，由独立源激励所产生的电路响应，称为零状态响应。分析 RC 电路的零状态响应，实际上是分析电容元件的充电过程。 如图1 所示RC 电路，时刻，开关断开，电路处于零初始状态； 时开关闭合。其物理过程为：开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，电容相当于短路，此时 ，充电电流 ，为最大；随着电源对电容充电， 增大，电流逐渐减小；当 时， ， ，充电过程结束，电路进入另一种稳态。

图1 RC电路的零状态响应
当 时，由 KVL定律可得 :
把 ， 代入得
( 1 )
此方程为一阶线性非齐次微分方程，初始条件为 。方程的解由非齐次微分方程的特解 和对应齐次微分方程的通解 组成，即
( 2 )
不难求得其特解为： （3 ）
而对应的齐次方程 的通解为：
( 4 )
其中， A 为待定常数 , 为 RC 电路时间常数。故，
(5 )
代入初始条件 ，可得 。
所以 （ 6 ）
电路中的电流为： （ 7 ）
和 的零状态响应波形如图 2 所示。可见：在直流电压源激励下，电容电压不能突变，须经历一个动态的充电过程，充电速度取决于时间常数 ，当电容电压达到电源电压 时充电结束，电路进入稳态；电容电流 换路瞬间发生突变，随充电过程的进行逐渐下降，下降速度取决于时间常数 ，充电结束后，电流为零，电路进入稳态。充电过程中电容元件获得的能量以电场能量形式储存。

图 2 和 的零状态响应波形

图 3 RL电路的零状态响应
RL电路的零状态响应
如图 3 所示，在换路前 ( t<0) 开关处于断开状态，电感元件 L 处于零初始状态，即 。 t=0时刻开关闭合瞬间，电路即与一恒定电压为 的电压源接通，此时相当于接入一个阶跃电压。
时 , 根据 KVL 基尔霍夫电压定律 :

把 ， 代入并整理得
( 8 )
这也是一个一阶非齐次微分方程，其初始条件为： .
与 RC 电路相似，电流 的解可分为微分方程的特解 和通解 两部分。容易求得特解 ，同解可表示为 。故

代入初始条件 ，得 。所以
(8 )
电感两端的电压为
( 9 )
和 的零状态响应随时间的变化规律如图 4 所示。
对比图 2 与图 4 可见，一阶 RC 电路与一阶 RL 电路有强烈的对偶性： 在直流电压源激励下，电感电流 不能突变，须经历一个动态充电过程，变化速度取决于时间常数 ，当电感电流达到 时电路进入稳态；电感电压 在换路瞬间发生突变，随充电过程的进行逐渐下降，下降速度取决于时间常数 ，充电结束后，电压为零，电路进入稳态。充电过程中电感元件获得的能量 以磁场能量形式储存。

(a) ( b )
图 4 和 的零状态响应
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一阶电路的零输人响应
一阶电路分析的三要素法