两个同阶群,分别是循环群和非循环群,是否一定不同构?证明之
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设G为n阶循环群 ,H为n阶群,f:G->H为同构
则f把 G中的所有元素 e,a,a^2,...,a^(n-1) 映为H中的 e,f(a),f(a)^2,...,f(a)^(n-1) n个元素.由于H是n阶的,所以{ e,f(a),f(a)^2,...,f(a)^(n-1) }就是H的全部元素.于是H也是循环群,由元素f(a)生成
因此与循环群同构的群一定是循环群; 换句话说,非循环群和循环群一定不同构.
则f把 G中的所有元素 e,a,a^2,...,a^(n-1) 映为H中的 e,f(a),f(a)^2,...,f(a)^(n-1) n个元素.由于H是n阶的,所以{ e,f(a),f(a)^2,...,f(a)^(n-1) }就是H的全部元素.于是H也是循环群,由元素f(a)生成
因此与循环群同构的群一定是循环群; 换句话说,非循环群和循环群一定不同构.
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