Question

设函数f(x)=x^2-ax+b，a,b属于R，

（1）已知f(x)在区间（-无穷，1）上单调递减，求a的取值范围， （2）存在实数a，使得当x属于[0，b]时，2≤f(x)≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值

Answer 1

(1)f(x)=x²-ax+b在区间(-∞，1)上单调递减，
∴a/2>=1,a>=2.
(2)存在实数a，使得x∈[0,b]时，2≤x²-ax+b≤6恒成立，
∴x=0时2≤b≤6,
x=b时2≤b^2-ab+b≤6,
x^2-ax+6=(x-a/2)^2+6-a^2/4,
由6-a^2/4>=2,得a^2<=16,-4<=a<=4，
当a=4时由b^2-3b-6<=0得b<=(3+√33)/2,
∴b的最大值=(3+√33)/2，此时a=4.

Answer 2

由题知，函数在负无穷到1之间递减
所以，f(x)‘<0在区间（-无穷，1）恒成立
所以，2x-a<0,(-无穷
2
（2）当x=-b/2a,时，该函数有最小值
所以，在x=b/2处，y有最小值
因为在x[0，b]时，2≤f(x)≤6
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