Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右两焦点分别为F1，F2，P...

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右两焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF1上一点，若PF2•F1F2=0，OH•PF1=0，|OH|=λ|OF1|，λ∈[13，12]（其中O为坐标原点）． （Ⅰ）求椭圆C离心率e的最大值； （Ⅱ）如果离心率e取（Ⅰ）中求得的最大值，已知b2=2，点M（-1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若NQ=2QM，求直线l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知PF2⊥F1F2，OH⊥PF1
则有△F1OH与△F1PF2相似，所以|OH||OF1|=|PF2||F1P|=λ…（2分）
设F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，P（c，y1），则有c2a2+y12b2=1，解得y1=b2a，
所以|PF2|=y1=b2a根据椭圆的定义得：|F1P|=2a-|PF 2|=2a-b2a…（4分）
∴λ=b22a2-b2，即b2a2=2λ1+λ，所以e2=c2a2=1-b2a2=21+λ-1…（6分）
显然e2=21+λ-1在[13，12]上是单调减函数，当λ=13时，e2取最大值12．
所以椭圆C离心率e的最大值是22…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知e2=c2a2=1-b2a2=1-2a2=12，解得a2=4，
∴椭圆C的方程为x24+y22=1…（10分）
由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，则其方程为y=k（x+1），N（0，k）
设Q（x1，y1），由于NQ=2QM，所以有（x1，y1-k）=2（-1-x1，-y1）
∴x1=-23，y1=k3…（12分）
又Q是椭圆C上的一点，则(-23)24+(k3)22=1，解得k=±4，
所以直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0…（14分）