Question

已知函数f(x)在[0，1]上可导，且f(0)＝0，对任意x∈[0，1]有|f'(x)|≤f(x)？

已知函数f(x)在[0，1]上可导，且f(0)＝0，对任意x∈[0，1]有|f'(x)|≤f(x)，证明：f(x)＝0，任意x∈[0，1]

Answer 1

f(x)在[0,1]上连续，必然存在最大值点，设最大值点为x0，f(x0)=a，如果f(x)不恒等于0，则a>0

根据拉格朗日中值定理，在(0,x1)上存在x2使得f'(x2)=(f(x0)-f(0))/(x0-0) =a/x0>=a（等号只有a=0时成立）

而f(x2)>=|f(x2)|>=a与x0是最大值点矛盾
所以a恒等于0