Question

设a>0,且a不等于1,则不等式|a^x-1|+|a^2x-3|>2成立

设a>0,且a不等于1,则不等式|a^x-1|+|a^2x-3|>2成立求x的取值范围，写出详细过程哦，非常谢谢啦

Answer 1

这个需要讨论，比较麻烦。令a^x-1=0,x=1;令a^2x-3=0,x=1/2loga(3)(以a为底3为真数的对数).
当0
0，a^2x-3>=0,则原不等式可转化为：a^x-1+a^2x-3>2,整理得：(a^x)^2+a^x-6>0,(a^x-2)(a^x+3)>0,a^x<2或a^x>-3（在x<1/2loga(3)时，显然成立），即x>loga(2),故loga(2)
=0，a^2x-3<0,则原不等式可转化为：a^x-1-a^2x+3>2,整理得：(a^x)^2-a^x<0,a^x(a^x-1)<0,0
0(舍)；
当x>0时，有a^x-1<0，a^2x-3<0,则原不等式可转化为：-a^x+1-a^2x+3>2,整理得：(a^x)^2+a^x-2<0,(a^x+2)(a^x-1)<0,-2
0.
当a>1时，
当x<=0时，有a^x-1<=0，a^2x-3<0,则原不等式可转化为：-a^x+1-a^2x+3>2,整理得：(a^x)^2+a^x-2<0,(a^x+2)(a^x-1)<0,-2
0(舍)；
当0
0，a^2x-3<0,则原不等式可转化为：a^x-1-a^2x+3>2,整理得：(a^x)^2-a^x<0,a^x(a^x-1)<0,0
0,故0
1/2loga(3)时，有a^x-1>0，a^2x-3>0,则原不等式可转化为：a^x-1+a^2x-3>2,整理得：(a^x)^2+a^x-6>0,(a^x-2)(a^x+3)>0,a^x<2或a^x>-3（显然成立），即x>loga(2),故x>loga(2).
综上所述：
当0
1时，x的取值范围为(0,2loga(3)]∪(loga(2),正无穷)。