Question

在三角形abc中 sin^A+sin^B+sin^C<2 问这个三角形式什么形状？

Answer 1

(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2
=1-(cosA)^2+1-(cosB)^2+1-(cosC)^2
=3-[(cos2A+1)/2+(cosB+1)/2]-cosC^2
=2-[cos2A+cos2B]/2-(cosC)^2
=2-cos(A+B)cos(A-B)-(cosC)^2
=2+cosCcos(A-B)-(cosC)^2
=2+cosC[cos(A-B)-cosC]
=2+cosC[cos(A-B)+cos(A+B)]
=2+cosCcosAcosB＜2,
∴cosCcosAcosB＜0,
必有一角为钝角，所以为钝角三角形。

Answer 2

sinA^2+sinB^2+sinC^2<2
由己知恒等式:
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2*cosA*cosB*cosC=1
所以上式化简等价于:
cosA*cosB*cosC<0
三角形ABC为钝角三角形