Question

若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取得最大值?

Answer 1

若扇形的周长为定值L,则扇形的圆心角为 时,扇形的面积最大
解:设扇形的半径为R,由弧长为:L-2R
扇形的面积为:S=1/2(L-2R)R=1/2LR-R^2
整理可得:2R^2-LR+2S=0
这是关于R的一元二次方程,要使R有解,判别式
△=L^2-16S>=0
即:S<=L^2/16,也就是说,扇形面积有最大值:S=L^2/16
此时:△=0
R=-b/(2a)=L/4 即:L=4R 此时弧长为:L-2R=4R-2R=2R
所以,圆心角为:2R/R=2
即,圆心角为2时,扇形的面积最大

Answer 2

若扇形的面积S为定值，当扇形的圆心角A为多少弧度时，该扇形的周长L取得最大值?
设弧半径为R，弧长为C。
S=C*R/2
C=2*S/R
L=C+2*R=2*S/R+2*R
L'=-2*S/R^2+2=0
2*S/R^2=2
R=S^0.5
C=2*S/R=2*S/S^0.5=2*S^0.5
A=C/R=2*S^0.5/S^0.5=2弧度

当扇形的圆心角为2弧度时，该扇形的周长取得最大值L=C+2*R=4*S^0.5。

Answer 3

扇形的面积为定值，当圆心角趋向于0时，半径趋向于无穷大，周长趋向无穷大。