Question

求微分方程y''-y'=e^x +1的特解

第八题，qn(x)为什么为ax+b?
x不应该为0方，所以qn=A吗？

Answer 1

求微分方程y''-y'=e^x +1的特解 ;
解：齐次方程 y''-y'=0的特征方程 r²-r=r(r-1)=0的根：r₁=0，r₂=1；
原方程右边的函数f(x)=e^x+1可看作 两个函数之和,即：f(x)=f₁(x)+f₂(x);
其中f₁(x)=e^x，f₂(x)=1；则f₁(x)和f₂(x)都属于Pm(x)e^(αx)的类型。其中f₁(x)=e^x中的α=1,
是齐次方程的特征方程的一个根，因此y''-y'=e^x的特解可设为：y₁*=Axe^x；
f₂(x)=1中的α=0,也是齐次方程的特征方程的一个根，因此y''-y'=1的特解可设为：y₂*=Bx;
那么 y''-y'=e^x+1的特解可设为y*=Axe^x+Bx; (选D)
检验：(y*)'=Ae^x+Axe^x+B； (y*)''=Ae^x+Ae^+Axe^x=2Ae^x+Axe^x；
代入原方程得：2Ae^x+Axe^x-(Ae^x+Axe^x+B)=Ae^x-B=e^x+1;
∴A=1; B=-1; 即原方程的特解为：y*=xe^x-x ;
(y*)'=e^x+xe^x； (y*)''=2e^x+xe^x；
代入原式左边得：y''-y'=2e^x+xe^x-(e^x+xe^x)=e^x+1；完全正确。

Answer 2

选D，直接用书上的结论做就行

Answer 3

Answer 4

特征方程的根是0和1，e^x对应的特解形式为(a+bx)e^x

Answer 5

将选项D，代入方程左边，得Ae^x-B，只需A=1，B=-1，即可，所以应该选D