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求微分方程y''-y'=e^x +1的特解 20
5个回答
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求微分方程y''-y'=e^x +1的特解 ;
解:齐次方程 y''-y'=0的特征方程 r²-r=r(r-1)=0的根:r₁=0,r₂=1;
原方程右边的函数f(x)=e^x+1可看作 两个函数之和,即:f(x)=f₁(x)+f₂(x);
其中f₁(x)=e^x,f₂(x)=1;则f₁(x)和f₂(x)都属于Pm(x)e^(αx)的类型。其中f₁(x)=e^x中的α=1,
是齐次方程的特征方程的一个根,因此y''-y'=e^x的特解可设为:y₁*=Axe^x;
f₂(x)=1中的α=0,也是齐次方程的特征方程的一个根,因此y''-y'=1的特解可设为:y₂*=Bx;
那么 y''-y'=e^x+1的特解可设为y*=Axe^x+Bx; (选D)
检验:(y*)'=Ae^x+Axe^x+B; (y*)''=Ae^x+Ae^+Axe^x=2Ae^x+Axe^x;
代入原方程得:2Ae^x+Axe^x-(Ae^x+Axe^x+B)=Ae^x-B=e^x+1;
∴A=1; B=-1; 即原方程的特解为:y*=xe^x-x ;
(y*)'=e^x+xe^x; (y*)''=2e^x+xe^x;
代入原式左边得:y''-y'=2e^x+xe^x-(e^x+xe^x)=e^x+1;完全正确。
解:齐次方程 y''-y'=0的特征方程 r²-r=r(r-1)=0的根:r₁=0,r₂=1;
原方程右边的函数f(x)=e^x+1可看作 两个函数之和,即:f(x)=f₁(x)+f₂(x);
其中f₁(x)=e^x,f₂(x)=1;则f₁(x)和f₂(x)都属于Pm(x)e^(αx)的类型。其中f₁(x)=e^x中的α=1,
是齐次方程的特征方程的一个根,因此y''-y'=e^x的特解可设为:y₁*=Axe^x;
f₂(x)=1中的α=0,也是齐次方程的特征方程的一个根,因此y''-y'=1的特解可设为:y₂*=Bx;
那么 y''-y'=e^x+1的特解可设为y*=Axe^x+Bx; (选D)
检验:(y*)'=Ae^x+Axe^x+B; (y*)''=Ae^x+Ae^+Axe^x=2Ae^x+Axe^x;
代入原方程得:2Ae^x+Axe^x-(Ae^x+Axe^x+B)=Ae^x-B=e^x+1;
∴A=1; B=-1; 即原方程的特解为:y*=xe^x-x ;
(y*)'=e^x+xe^x; (y*)''=2e^x+xe^x;
代入原式左边得:y''-y'=2e^x+xe^x-(e^x+xe^x)=e^x+1;完全正确。
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特征方程的根是0和1,e^x对应的特解形式为(a+bx)e^x
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将选项D,代入方程左边,得Ae^x-B,只需A=1,B=-1,即可,所以应该选D
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