Question

线性代数题目求问

这个题目不会写，希望有详细过程！

Answer 1

追问

将结论代入再证明成立吗

有直接证明的方法吗

Answer 2

证明如下：利用逆矩阵的定义来证明！

因为，A,B,A+B均可逆，

那么可设它的逆为C矩阵,

同时E为单位矩阵，则有

(A+B)C=E， C(A+B)=E

而 (A+B)B⁻¹[A⁻¹+B⁻¹]⁻¹A⁻¹

=[AB⁻¹+E]{A[A⁻¹+B⁻¹]}⁻¹

=[E+AB⁻¹][E+AB⁻¹]⁻¹ =E

同时， B⁻¹[A⁻¹+B⁻¹]⁻¹A⁻¹(A+B)

={[A⁻¹+B⁻¹]B}⁻¹[E+A⁻¹B]

=[A⁻¹B+E]⁻¹[A⁻¹B+E] =E

所以（A+B)⁻¹=B⁻¹[A⁻¹+B⁻¹]⁻¹A⁻¹

得证！