Question

多元函数隐函数求偏导有什么公式？

Answer 1

多元隐函数的求导数，主要可用函数求导和全微分求导。
x^2+2xy+y^3=0.
则全微分求导为：
2xdx+2ydx+2xdy+3y^2dy=0
(2x+2y)dx+(2x+3y^2)dy=0,
则dy/dx=-2(x+y)/(2x+3y^2).

Answer 2

f = e^x/(x-y) ,
f'x = [(x-y)e^x-1·e^x]/(x-y)^2 = (x-y-1)e^x/(x-y)^2,
f'y = e^x/(x-y)^2 ，
f'y+f'x = e^x/(x-y) = f, 选 D.

Answer 3

偏导数全导数

偏导数

由于是二元函数，有两个因变量。偏导数表示分别对某一个导数求导，如偏x导数、偏y导数。

高阶偏导数

对偏导数继续求导。以二元函数的二阶偏导数为例，偏x导数有两个偏导数、偏y导数有两个偏导数。

定理：如果二元函数的两个二阶混合偏导数连续，那么他们两个相等。

全微分

与一元函数类似，由于有两个变量，x或y的增量称为偏增量，单单对x或y的微分称为偏微分。
若x，y同时增加，称为全增量。
全微分定义见下图

定理

• 如果函数在该点可微分，那么其在该点的偏导数一定存在，且全微分中A、B分别等于偏x导数、偏y导数（叠加定理）
  （全微分存在，函数可微分，偏导数一定存在；偏导数存在，全微分不一定存在）

• 如果函数在该点偏导数连续，那么函数在该点可微分

多元复合函数求导

一元函数与多元函数复合

先对多元函数微分，再把每个函数看成一元函数进行求导

不管那种情况，都有一下规律：

把最外层函数里的一个一个函数看过来，如果这个函数不存在所导变量，就不理他看下一个（微分后为0）。如果有，就先把最外层函数对其微分，如果里面这个函数是一元函数，就对变量求导；如果是多元，就对变量微分。

多元函数二阶求导

为方便起见，做出如下定义：有z=f(u,v)。f1’(u,v)=fu(u,v)——f对u求偏导;f2’=fv(u,v)——f对v求偏导;f12’’(u,v)=fuv(u,v)等等…

先求一阶偏导，再根据公式求二阶偏导数。需要注意的是此处求出来的是一阶偏导对变量的微分。由于一阶偏导内涵中间变量u、v，因此要再进行微分将一阶偏导对变量的微分变成二阶偏导。

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