Question

高中数学函数奇偶性问题，求解！

已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=(1/2)x,试求f(x)=-(1/2)的一切x值

Answer 1

由f(x+2)=-f(x)得
f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-（-f(x)）=f(x)
f(x)是以4为周期的周期函数，
当0<=x<=1时f(x)=1/2x
由f(x)是奇函数所以当-1<=x<=0
0<=-x<=1
-f(x)=f(-x)=1/2(-x）
所以f(x)=1/2x，-1<=x<=0
所以f(x)=1/2x，[-1,1]
由f(x)是定义域在R上的奇函数f(-x)=-f(x)，及f(x+2)=-f(x)得
f(x+2)=f(-x)，可得f(x)是关于x=1对称，
所以f(x)=1-1/2x,[1,3]
根据周期函数性质，
因此x=4k-1,(k为整数),f(x)=-1/2，。