Question

高数复合函数微分帮个忙吧谢谢！

最后一小题，我真的没啥想法

Answer 1

分析，这题考的不是数学，而是语文，题目本身比较烂，就是绕来绕去！
解：
根据题意：
x=u;
y=u/(uv+1)
∴
dx/du = 1
∂y/∂u=yu= (uv+1-u²)/(uv+1)²
对x²(∂z/∂x)+y²(∂z/∂y)=z²求微分：
2x(∂z/∂x)dx+x²·[(∂²z/∂x²)dx+(∂²z/∂x∂y)dy]+2y(∂z/∂y)dy+y²·[(∂²z/∂y²)dy+(∂²z/∂y∂x)dx]=2zdz
2zdz=[x²(∂²z/∂x²)+y²(∂²z/∂x∂y)+2x(∂z/∂x)]dx+[x²(∂²z/∂y∂x)+y²(∂²z/∂y²)+2y(∂z/∂y)]dy
dz
={[x²(∂²z/∂x²)+y²(∂²z/∂x∂y)+2x(∂z/∂x)]/(2z)}dx +
{[x²(∂²z/∂y∂x)+y²(∂²z/∂y²)+2y(∂z/∂y)]/2z}dy
即：
dz=[(x²·zxx+y²·zxy+2x·zx)/(2z)]dx +[(x²·zyx+y²·zyy+2y·zy)/2z]dy
∴
∂z/∂x= zx= (x²·zxx+y²·zyx+2x·zx)/(2z)
∂z/∂y= zy=(x²·zxy+y²·zyy+2y·zy)/2z
而：
∂ψ/∂z=-1/z²
∂ψ/∂x=ψx=(∂ψ/∂z)·(∂z/∂x)+(1/x²)=ψz·zx+(1/x²)
∵
w=ψ(u,v)=ψ(z,x)=ψ(z(x,y),x)=ψ{z[x(u),y(u,v)],x(u)}
∴
∂w/∂u
=(∂ψ/∂z)·(∂z/∂u)+(∂ψ/∂x)·(dx/du)
=(∂ψ/∂z)·[(∂z/∂x)·(dx/du)+(∂z/∂y)·(∂y/∂u)]+(∂ψ/∂x)·(dx/du)
=ψz·(zx+zy·yu)+ψx
带入即可（一大坨）