Question

在三角形ABC中,角A=90度.AB=AC,D在BC上,求证BD的平方+DC的平方 =2AD的平方

Answer 1

证明:
过A做AE⊥BC
则BE=CE=AE
BD^2+DC^2
=(BE-DE)^2+(CE+DE)^2
=(AE-DE)^2+(AE+DE)^2
=2AE^2+2DE^2
=2AD^2
以下方法,仅供参考:
∠B=∠C=45°,AB=AC
BC=√2AB
余弦定理
AD^2=AC^2+DC^2-2AC*DCcos∠C
AD^2=AB^2+DB^2-2AB*BD*cos∠B
2AD^2
=2AB^2+DC^2+DB^2-√2AB(BD+CD)
=DC^2+DB^2-2AB*AB+2AB^2
=DC^2+DB^2
所以：
DC^2+DB^2=AD^2
可以用旋转
过A点向外作AD'垂直AD,使得AD'=AD,连接D'C,DD'(也就是把三角形ADB转到外面使AB和AC重合)
然后用SAS证明三角形ADB和三角形AD'C全等
所以DB=D'C
可证三角形D'DC是Rt三角形,角D'DC是直角
三角形ADD'是等腰直角三角形,所以DD'^2=2(AD)^2
所以 D'C^2(^2是平方的意思)+DC^2=D'D^2
所以 D'C^2+DC^2=(2AD)^2
所以 BD^2+DC^2=2(AD)^2