Question

1.已知a,b,c是不全相等的正数,求证a+b+c>√ab +√bc+√ca 2.求证a^2+b^2+c^2+d^2>=ab+bc+cd+da.

想要详细答案...thank you~~ ^^

Answer 1

a+b+c=1/2(a+b)+1/2(b+c)+1/2(c+a)>=1/2*2√ab +1/2*2√bc+1/2*2√ca=√ab +√bc+√ca
由于不全相等，所以不能取等号。
第2小题差不多

Answer 2

1、因为
（√a-√b）²＞0，即a+b＞2√ab
（√a-√c）²＞0，即a+c＞2√ac
（√c-√b）²＞0，即b+c＞2√bc
三式相加即
2（a+b+c）＞2（√ab +√bc+√ca ）
所以a+b+c>√ab +√bc+√ca

2、因为
（a-b）²＞0，即a²+b²＞2ab
（a-c）²＞0，即a²+c²＞2ac
（c-b）²＞0，即c²+b²＞2cb
三式相加即
2（a²+b²+c²）＞2（ab+ac+bc）
所以a²+b²+c）＞ab+ac+bc

Answer 3

1)
a+b+c
= 1/2[（a+b)+(b+c)+(c+a)]
≥ 1/2[2√ab +2√bc+2√ca ]=√ab +√bc+√ca
【等号仅在 a=b=c 时成立，故：】
a+b+c >√ab +√bc+√ca
2)
a^2+b^2+c^2+d^2
=1/2[（a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+d^2)+(a^2+d^2)]
≥ 1/2[2ab +2bc+2cd+2da ]=ab+bc+cd+da.

Answer 4

1.
a+b+c=[(a+b)/2]+[(b+c)/2]+[(c+a)/2]>√ab +√bc+√ca

2.
a^2+b^2+c^2+d^2
=[(a^2+b^2)/2]+[(b^2+c^2)/2]+[(c^2+d^2)/2]+[(d^2+a^2)/2]
>ab+bc+ca+da

Answer 5

1、因为
（√a-√b）²＞0，即a+b＞2√ab
（√a-√c）²＞0，即a+c＞2√ac
（√c-√b）²＞0，即b+c＞2√bc
三式相加即
2（a+b+c）＞2（√ab +√bc+√ca ）
所以a+b+c>√ab +√bc+√ca

2、解法同上

Answer 6

1.
a+b>2√ab ,同理，b+c……因此 2a+2b+2c>2√ab +2√bc+2√ca

2，第二题方法一样。