Question

如何证明该函数只有一个实根？

Answer 1

如何证明该方程只有一个实根，或函数只有一个零点，你说的有问题
令h(x)=ln(1+x^2)-x+1,
h'(x)=2x/(1+x^2)-1=-(x-1)^2/(1+x^2)恒小于等于0，
则h(x)在R上单调递减，
又h(3)=ln10-2>0,h(4)=ln17-3<0,
存在零点∈（3,4），
即函数h(x)=ln(1+x^2)-x+1,存在唯一零点，
即方程ln(1+x^2)=x-1,有唯一解

Answer 2

 证明： (1) 存在 x0>0，使 f’(x0)=0； (2) 方程 f(x)=0 在 (0,+ ∞) 内有唯一实根. 【思路分析】 ：两个问题都是证明根的存在性，加一个唯一性。 存在性的常用证明思路：零点定理 (直接验证函数满足零点定理的条件)、罗尔定理 (验证一个原函数满足罗尔定理的条件)