Question

设函数f(x)=1-e^(-x).(1)证明：当x>-1时,f(x)>=x/(x+1)； （2）设当x>=0时,f(x)

Answer 1

1
f(x)=1-e^(-x)
f(x)-x/(x+1)=1-e^(-x)-[1-1/(x+1)]
=1/(x+1)-e^(-x)
0>x>-1时
1/(x+1)=lim(n→∞) [1-(-x)^n]/[1-(-x)]=1+(-x)+(-x)^2+...+(-x)^n
e^(-x)=1+(-x)+(-x)^2/2!+...(-x)^n/n!
1/(x+1)>e^(-x)
x=0时,1/(x+1)=1=e^0
x>0时,(x+1)e^(-x)
所以x>-1时f(x)≥x/(x+1)
2
x≥0
f(x)≥x/(ax+1)
f(x)-x/(ax+1)≥0
x/(ax+1)=1/a+ 1/[a(ax+1)]
f(x)-x/(ax+1)=f(x)-[1/(x+1/a)]/a
x=0时,f(x)=x/(ax+1)
x>0时,
f(ax)>ax/(ax+1)
a≥1时,ax/(ax+1)≥ x/(ax+1),ax>x,1-e^(-x)>1-e^(-ax)
a>1时,f(x)>f(ax)>x/(ax+1)
a0,x=1/(1-a),x/(ax+1)=1,f(x)=1-e^(-x)