若点P是曲线y=x 2 -lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为 ______.
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点P是曲线y=x 2 -lnx上任意一点,
当过点P的切线和直线y=x-2平行时,
点P到直线y=x-2的距离最小.
直线y=x-2的斜率等于1,
令y=x 2 -lnx的导数 y′=2x- 1 x =1,x=1,或 x=- 1 2 (舍去),
故曲线y=x 2 -lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标(1,1),
点(1,1)到直线y=x-2的距离等于 2 ,
故点P到直线y=x-2的最小距离为 2 ,
故答案为 2 .
当过点P的切线和直线y=x-2平行时,
点P到直线y=x-2的距离最小.
直线y=x-2的斜率等于1,
令y=x 2 -lnx的导数 y′=2x- 1 x =1,x=1,或 x=- 1 2 (舍去),
故曲线y=x 2 -lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标(1,1),
点(1,1)到直线y=x-2的距离等于 2 ,
故点P到直线y=x-2的最小距离为 2 ,
故答案为 2 .
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