Question

左右导数和导数的左右极限的区别

Answer 1

左右导数，是函数左右段的实际导数值，若左右导数相等，则函数在该点可导，该导数也是导函数在该点的函数值；而导函数的左右极限，是导函数作为独立函数时求得的函数极限，与原函数联系不大。那么导函数作为一个独立的函数，如果在该点的左右极限相等且等于实际函数值，那么导函数在该点连续。

导数的极限和左右导数的区别

1、定义不同：导数极限的思想为近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科；左右导数，也叫导函数值，为微积分中的重要基础概念。

2、作用不同：利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念；左右导数只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。

3、性质不同：极限具有唯一性、有界性、保号性、保不等式性、和实数运算的相容性、与子列的关系等性质特点；左右导数具有单调性，若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。