Question

帮忙解下这个题

设a＞0，b＞0，c＞0，a≠b，b≠c，c≠a，且a，b，c满足a＋b＞c，求证：
a³＋b³＋c³＋3abc＞2（a＋b）c²
帮帮忙了

Answer 1

两次放缩，就解决了：
左边
=(a+b)(a^2+b^2-ab)+c^3+3abc
>c(a^2+b^2-ab)+c^3+3abc
=c×[(a+b)^2+c^2]
≥c×2×(a+b)×c
=右边

以下参考:

证明：

原不等式等价于：

a³+b³+c³+3abc-2(a+b)c²>0

由于a³+b³=(a+b)³-3a²b-3ab²，所以化为
(a+b)³-(a+b)c²-(a+b)c²+c³+3abc-3a²b-3ab²>0

(a+b)[(a+b)²-c²]+c²(-a-b+c)+3ab(-a-b+c)>0

(a+b)(a+b+c)(a+b-c)+c²(-a-b+c)+3ab(-a-b+c)>0

提取公因式得
(a+b-c)[(a+b)(a+b+c)-c²-3ab]>0

(a+b-c)[a²+b²-c²+ac+bc-ab]>0

(a+b-c)[a²+b²-(a-c)(b-c)]>0 ----------------(1)
现在只需要证明
a²+b²-(a-c)(b-c)>0------------------------(2)

凑出因子(a-c),(b-c)，即另a=a-c+c;b=b-c+c;

得(a-c+c)²+(b-c+c)²-(a-c)(b-c)>0;

(a-c)²+(b-c)²-(a-c)(b-c)+2c(a+b-c)>0;
因为
(a-c)²+(b-c)²-(a-c)(b-c)>0
2c(a+b-c)>0(c>0)

所以a²+b²-(a-c)(b-c)>0---------------(2)成立

又因为(a+b-c)>0;

所以(a+b-c)[a²+b²-(a-c)(b-c)]>0-------------------(1)成立

所以原不等式得证