Question

幂的运算

Answer 1

  在我们学了加减乘除，四则运算之后，我在想有没有第五种运算？后来我发现有一种运算是乘方，其实就是幂运算。看起来他就是连乘的形式，但是如果他和城防相互转化，为什么还要单独有这样的一种运算？但是我们可以想象一下，如果有1000个10连续相乘写成乘法要很长很长，但是如果把它转化成乘方的形式，也就是幂运算，直接就可以写成10的1000次方，非常的简洁方便。它也是非常有用的。我想如果要是想学习这种幂运算，我们可以从他的四则运算开始学习，但是幂可不可以四则运算？我想是可以的。

  我们首先可以从幂的乘法运算探究，并且是同底数幂的乘法运算，他有什么样的规律？

先随便举个例子，比如10² ×10 ³，可以分别把他们的幂算出来，然后再相乘，但这样就没有什么意义，因为我们需要找到他们之间的规律，是否有简便的方法运算。通过直接的观察感受，我认为可以将他们的指数相加，底数不变，变成了10的2+3次方，如图：

但是到底是不是这样？我现在还需要验证我的猜想，证明猜想是否正确。你可以先把10²和10 ³分别转化成10×10和10×10×10，它们相乘的也就是10×10×10×10×10，其实就是五个10相乘，再观察两数的指数，这个5其实就是两个数的指数相加。但是只有10这样一个比较特殊的数字可以这样吗？后来我举例数字2，看是否有同样的规律，经过我的验证，发现可以得到相同的结果。但是此规律还有一个前提就是底数必须相同，不然就不成立。最后，我还可以用字母来表示一下普遍的规律，如图：

  我们可以探究一下幂的乘方与积的乘方，比如说（6 ²）的四次方，该如何转化？我刚开始直观感受，认为是他们的指数相乘，如图：

可到底是不是这样的，我们还需要证明，验证。6²可以转化成6✖️6，有四组这样的6×6，这种一共也就是8个6×6，再结合他的指数，其实就是两个指数相乘。这也证明了，我们的猜想是正确的。底数不变，指数相乘。我们也可以用字母来表示一下这个规律。

但是现在的底数都是一个单独的数字，但是底数如果是一个式要怎样运算？如图：

我通过直观感觉应该是他们的乘数分别乘方的幂相乘，如图：

但现在还需要证明，看是否正确？我们可以先将它转化成连乘的形式，如图：

最后在利用乘法的交换律，就可以得到三的四次方×五的四次方。这也验证我的猜想，证明是对的。最后，我们可以用一个字母代表它普遍的规律，如图：

  现在我还想研究同底数幂的除法，如图：

我感觉可以将他们的指数相减，但这也同样要证明。我们可以把乘方先转化成连乘的方式，如图：

我发现他们其实相互抵消了，两个十相互抵消，最后就只剩下了一个10，再观察一下指数其实就是指数相减，底数不变。最后证明发现他们的得数都一样，这也验证了我们的猜想。最后，我们还可以用字母来表示一下，如图：

但现在有一个问题，如果上图正整数B小于正整数C怎么办？如：

此时，他们的指数相减，变成了一个负数。那么10的-1次方是多少？并且如果他们的指数是零，结果又是多少？10²是100，我们在以前也听老师说过10¹其实就等于10，和他自己本身一样，那么10的零次方是多少？我想我们可以用刚才的同底数幂的除法来证明，如图：

利用刚才我们已经得到的一个工具，同底数幂的除法，就是他们的指数相减，底数不变，上图它们的指数相减等于零，就变成了10的零次方，其结果其实也就1，这也证明了一个数的零次方其实就是1。那么一个数的-1次方是多少？通过刚才的观察，一个数的指数减1，结果就缩小到原来的十分之一，那么10的零次方到10的-1次方指数减了1，结果也就要缩小到原来的十分之一，就变成了0.1。我们也可以总结一下一个数是负几次方，就缩小到原来的几个十分之一，所以我们也得到了一个数的负数次方的结果是多少，成功地解决了这个问题。

  幂这种运算非常的简便，好用，可以将很大的一串数字非常巧妙的变成一个极其简洁的式子，因此被人们定为了第五种运算。在各种纷繁复杂的算式中，就更加突显出到了它的实用性，及他的这种简洁之美。