Question

全等三角形的判定

Answer 1

全等三角形就是形状和大小完全相等的两个三角形，也可以说，是三组对应边，三组对应角完全相等的两个三角形。那么香反过来也成立，如果两个三角形的三组对应边相等，三组对应角相等，那么这两个三角形也是全等的。但是这有六个条件，太多了，那么我们是否可以精简一些呢？

那么我们该用什么方法来判定这两个三角形全等呢？其实三角形的判定就是看这些条件是否能唯一确定一个三角形。

我们从一个数量条件中包含的要素开始向上增加条件。

如果两个三角形只有一组对边相等，已知一组对应边相等不能求出其它的边，也不能求出其它的角，而如果两个三角形只有一组对应角相等，那么已知一组对应角相等也不能求出其他的角，所以这两个都不可以判定三角形全等。

所以只给出一个条件是不能判定两个三角形全等的。

那么假如满足两个条件，让两组对应边相等，那么这世界上也不能求出另外的一条边，所以也不可以判定三角形全等，而如果给出的条件是两组对应角相等，事实上我们也发现了如果有两个角相等，那么第三个角也确定了，但是角确定了不能求出边的长度，所以两组对应角分别相等和三组对应角分别相等就不能判定三角形的全等。

如果三角形的一组对应边和一组钝角都确定了，那么这样还有两个角和一条边没有确定，也没有办法确定，所以满足两个条件也不能判定三角形全等。

那么假如满足三个条件，三组对应边相等，也就是说假如给你三根棍，那么你能摆出几种不同的三角形呢？也许看起来是不同的，但是当我们旋转和平移之后，这些所有的三角形都会重合在一起，你就可以证明这几个三角形是全等的。

这也就是全等三角形的其中一种判定，三条边对应相等的三角形全的。我们可以剪成边边边，耳边的英文是side，所以书写的时候可以写成sss。但是这个我们没法确定，因为现在已知的只有全等三角形的定义，暂时无法证明，所以这个判定是不正自明出来的，也被称为公理。

两角一边是否能判定全等呢？这还需要分情况，也就是将不同的位置关系分为不同的情况，比如当两个边有一个公共角的时候，我们可以称它为两边夹一角，当确定了这三个条件之后，最后的也就是把这两条线的两个端点连起来罢了，所以这两个三角形也是唯一确定的。

所以我们又得到一个可以判定三角形全等的方法，那就是两边及其夹角相对应的三角形全等，可以简称为边角边，而角的英文是angle，所以可以简称为sas。而同样这也是不正自明的，所以我们称它为公理。

那么另外一种情况就是不是两边夹着一个角，而是有一个角和一边是相对的，而另外一个角就是与这个边相邻。那么我们知道当两个角已经确定的时候，事实上第三个角也是确定的，所以当我们把这个转化为角边角的时候，就可以判定全等了。

这个是我们可以通过证明正出来的，所以他是一个定理。

如果给我们两个角和一条边相等，而且这样的位置关系是两个角有一条公共边，这条公共边是相等的，当我们确定了这三个条件之后，把这两个角的另一边延长，那么他们只会交到一个点上，而现在三个点确定了，也就意味着三角形也是唯一确定的，所以这也可以判定两个三角形全的。

那么同样我们可以把它简称为角边角，用英文单词手写字母也就是asa。而这个也无法证明，所以也被称为公理。

假如我们知道两条边和一个角是相等的，而这样的位置关系和刚刚的不一样，不是两条边中间夹着一个角，而是一个角和他相对应的边和一个相邻的边，我们发现在某些情况下是可以判定全等的，但是有的时候会有两种情况。所以目前我们有四种可以判定的方法。