Question

随机变量的概率分布

Answer 1

列出离散型随机变量X的所有可能取值；列出随机变量取这些值的概率
P(X =x _i )=p _i 称为离散型随机变量的概率函数
常用的有二项分布、泊松分布、超几何分布等

连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值
它取任何一个特定的值的概率都等于0，不能列出每一个值及其相应的概率
通常研究它取某一区间值的概率，用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述
用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述

由C.F.高斯(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出
描述连续型随机变量的最重要的分布
许多现象都可以由正态分布来描述，可用于近似离散型随机变量的分布（例如： 二项分布），是经典统计推断的基础

随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布
任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布

数据正态性的评估

t 分布是类似正态分布的一种对称分布，通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布

设X~N(μ，σ ² )，则 z= (X-μ)/σ~N(0,1)
令Y=z ² ，则 y 服从自由度为1的χ2分布，即Y~χ2(1)
对于n个正态随机变量y ₁ ，y ₂ ，y _n ，则随机变量χ2称为具有n个自由度的χ2分布，记为X~χ2

性质和特点

设若U为服从自由度为n1的χ2分布，即U ~ χ2(n1)，V为服从自由度为n2的χ2分布，即V ~ χ2(n2),且U和V相互独立，则

称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为 F ~ F（n ₁ ,n ₂ )

在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布
是一种理论概率分布，推断总体均值μ的理论基础

当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值▔x也服从正态分布，▔x 的期望值为μ，方差为σ2/n。即▔x～N(μ,σ ² /n)

在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布
对于来自正态总体的简单随机样本，则比值

的抽样分布服从自由度为 (n -1) 的χ2分布，即