Question

因式分解时如何确定所求问题含待定系数的解析式?

Answer 1

要确定一个多项式的因子的待定系数解析式,其实就是要弄清这个多项式可以有什么样子的因子.
简单来说就是两方面:次数和系数.
一个多项式分解为两个多项式的乘积,则其次数等于两个因子的次数之和.
两个因子中至少有一个的次数不大于原多项式次数的一半.
于是一个2次或3次的多项式若可以分解,则必有1次因子.
4次或5次多项式若可以分解,则必有1次或2次因子,依此类推.
因为因子的次数越高,需要待定的系数就越多,而且方程就越复杂,
所以通常从次数较低的因子开始尝试,一旦找到就提出因子再进行下一步分解,这样计算会简便一些.
关于系数的讨论,首先有以下定理:
如果一个整系数多项式可以分解为有理系数多项式的乘积,
那么一定可以分解为整系数多项式的乘积.
因此对于整系数多项式的分解,首先一条是可以假设各因子的系数都是整数.
除此之外,比较容易得到的是以下两点:
最高次项系数 = 因子最高次项系数的乘积,常数项 = 因子常数项的乘积.
于是因子的最高次项系数一定是最高次项系数的约数,
因子的常数项一定是最常数项的约数.
找多项式有理根的试根法就是在此条件的推论.
特别的,如果最高次项系数为1,那么因子的最高次项系数只能为±1.
通过乘以-1,总不妨假定因子的最高次项系数为1.
有时情况反过来,常数项为1,那么总不妨假定因子的常数项为1.
需要注意的是,当常数项和最高次项系数都是1,
因子的常数项和最高次项系数的符号不能同时假定:
如果假定了最高次项系数为1,那么常数项只能设为±1.
最后看例子:x^4+x^3+3x^2+x+6.
先找一次因子:直接用试根法,经验证±1,±2,±3,±6都不是根,所以没有一次因子.
再找二次因子:用待定系数:x^4+x^3+3x^2+x+6 = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d).
a,b,c,d四个未知数比较难解,利用bd = 6的条件,可以分为如下情况:
x^4+x^3+3x^2+x+6 = (x^2+ax+1)(x^2+cx+6),
x^4+x^3+3x^2+x+6 = (x^2+ax-1)(x^2+cx-6),
x^4+x^3+3x^2+x+6 = (x^2+ax+2)(x^2+cx+3),
x^4+x^3+3x^2+x+6 = (x^2+ax-2)(x^2+cx-3).
(像x^2+ax+3这种情况不需考虑,因为和(x^2+cx+3)(x^2+ax+2)是一样的).
最后可以得到分解x^4+x^3+3x^2+x+6 = (x^2-x+2) (x^2+2x+3).