Question

求证:n趋于无穷大,级数收敛

Answer 1

定义1：自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.
　　定义2：若数列{an}满足1/a（n+1）-1/an=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}调和数列
　　人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):
　　1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......称作欧拉初始,专为调和级数所用，至今不知是有理数还是无理数)
　　人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式.
　　但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式.
　　当n→∞时
　　1＋1/2＋1/3＋1/4＋
…
＋1/n
　　这个级数是发散的。简单的说，结果为∞
　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　用高中知识也是可以证明的，如下：
　　1/2≥1/2
　　1/3＋1/4＞1/2
　　1/5＋1/6＋1/7＋1/8＞1/2
　　……
　　1/[2^(k-1)+1]＋1/[2^(k-1)+2]＋…＋1/2^k＞[2^(k-1)](1/2^k)＝1/2
　　对于任意一个正数a，把a分成有限个1/2
　　必然能够找到k，使得
　　1＋1/2＋1/3＋1/4＋
…
＋1/2^k＞a
　　所以n→∞时，1＋1/2＋1/3＋1/4＋
…
＋1/n→∞