Question

问几道高二的数学题，谢谢啊

1.圆锥的母线长为L，高为1/2L，则过圆锥顶点的最大截面的面积是（ ）

2.用两个平行平面截半径为5的球，所得圆面的周长分别为6π和8π，则这两个截面之间的距离为____

3.将一个边长为10的大正方体的表面涂成红色后，再切成边长为1的小正方体，这些小正方体中至少有一面涂成红色的个数是

4.长方体的表面积是22.所得棱长的和为24，则对角线长为________

5.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的这个圆台上、下底面的半径是1:4.，截去的圆锥的母线长为3cm，求截得的圆台的母线长。

Answer 1

1.L²/2
设截面三角形（两腰为母线）的顶角为α，那么
S=1/2·sin α·L²≤L²/2(由于原圆锥的锥角为120°，所以“=”能取到）

2.1或7
两个圆面的半径分别是3、4，所以球心到截面的距离分别为
√5²-3²=4和√5²-4²=3
当两截面同侧时，截面距离为|3-4|=1
当两截面异侧时，截面距离为|3+4|=7

3.488
计算所有小正方体，个数为10³=1000个；
所有没有染色的小正方体，个数为8³=512个；
所以这些小正方体中至少有一面涂成红色的个数是1000-512=488个。

4.√14
设长方体长、宽、高分别是a、b、c，则
(ab+bc+ca)·2=22 ，(a+b+c)·4=24
所以2ab+2bc+2ca=22 a+b+c=6
∴对角线长为√a²+b²+c²=√(a+b+c)²-2ab-2bc-2ca=√6²-22=√14

5.9
根据相似三角形，容易得到被截前的圆锥母线长为3×4=12cm,
所以截得的圆台母线长为12-3=9cm.