Question

同底数幂的四则运算

Answer 1

      现在，初一阶段，我们已经学到了幂。也就是乘方。这就是除了加减乘除之外的第5个运算方式。而我们在研究乘方的时候，还是要研究到它的四则运算。

    乘方的意思有点相当于是连乘，比如说一个数的几次方就是几个这个数相乘。举一个简单的例子，4的5次方就是5个4相乘，就是4×4×4×4×4。用幂的形式就是这样表达的：4⁵。在这个树中右上角的那个5所表示的就是它的乘方，而在这个数中被称为指数。底下那个4被称为底数。不过在表达的时候是需要注意一些事情的。因为我们目前只接触到了指数为正整数的幂，所以在表示乘方的时候需要注意很多事情。例如说负数的乘方，(-4)⁵，只有当你加上括号的时候，它表示的才是-4的5次方。可是如果你这样表示的话：-4⁵，这个数所表示的意思就是4的5次方的相反数。所以在表示一个数的乘方的时候，要谨记的一点就是加上括号，不要让别人产生误会。那么乘方该如何研究它的加减乘除呢？

    我们可以先从最简单的开始，先尝试一下同底数幂的乘除。首先，同底数幂的乘法。举个例子，10²×10³。简便一点，该如何计算呢？我们现在已经了解了乘方所表示的意义，指数等于几，就是几个底数相乘。那么在这里就是2个10×3个10。看起来似乎你还要麻烦的先算出来两个十相乘等于多少再算出来三个十相乘等于是多少，然后再把它们乘起来。但其实并没有这么麻烦，把他们化简之后就会发现，10²×10³＝10×10×10×10×10，也就是5个10相乘。从这里面我们就已经能大概发现规律了。在这道算式中，底数10没有变，只需要指数相加就行了。但是为了保证10并不是因为是特例所以才能奏效，我们还需要在别的数上试一试。2³×2²，等于5个2相乘，所以这个规律成立。也就是同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

    下一个就是要研究乘方的乘方，也就是说幂的乘方该怎么计算。我们先随便举个例子：(3³)⁵。按照惯例，我们先把它们化简。(3×3×3)⁵，3×3×3的5次方，也就是等于5个3×3×3。化到最简，就是3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3。其实就是3的15次方。这时候我们就又能发现规律了。3的3次方的5次方，等于3的15次方。那么再仔细观察规律，不就是底数不变，指数相乘吗？15个3相乘听上去是不是都简单多了？再多试验后会发现，同底数幂的乘方确实是这样计算的。

      剩下的就是除法了。我们还是举一个例子。10⁵÷10³＝10²。5个10除以3个10。我们已经知道了乘除互逆，乘法与除法是逆运算。我们就先可以根据它的乘法运算来计算。这个式子的乘法运算就是10的2次方×10的三次方＝10的5次方。那么这个时候我们再根据长处互逆的关系来把它们倒推过来，10的5次方除10的三次方等于多少？10的二次方。我们再次得出了一个结论，当底数相同时，计算是底数不变，被除数的指数减去除数的指数等于商的指数。这就是同底数幂的除法了。

    不过现在还有一个更难的问题。假如说被除数的指数小于除数的指数，也就是说如果最终商的指数变成了一个负数，该怎么计算呢？商的指数变成了一个负数，负数个几？这真的可以计算吗？我们平常在生活中就见不到复数，因为付出是一个比0还小的存在。10⁻²，-2个10？我一开始还以为意思表示的是10的二次方的相反数，但是其实我想的这个意思应该是这样表示的：-10²。那么-2个10到底是什么意思？我们可以用科学计数法来解答。科学计数法中，小数点前面只有一位数，后面则不限。那么这时，10的负一次方就是0.1。从这里我们可以看出负数次方到底是如何计算的。就例如说10的几次方就是小数点往左移几位数。除了幂的乘除之外，还有的就是幂的加减。不过我们在学习幂的加减的途中会发现其实他们比乘除还难。因为乘方本来就相当于是一个连乘的运算，只不过连乘的时候乘的都是同一个数。所以说在计算幂的乘除的时候相当于就是同级运算，例如说在计算同底数的幂的乘除的时候就可以直将将他们的指数相加。但是当你在计算幂的加减的时候，就不可以直接将指数相加了。 10²+10³，算出来就不等于10的5次方了。因为如果把这个算式化简的话，所表示的意思就是10的两次方加上10的三次方。10×10+10×10×10。算出来的结果就与10的5次方是不一样的了。

    那么这么说下来，大概就是同底数的幂的乘除了。